Leçon 230 : Séries et de nombres réels ou complexes. Comportement des restes ou des sommes partielles des séries numériques. Exemples.
Dernier rapport du Jury : 2016
230 - Séries de nombres réels ou complexes. Comportement des restes ou des sommes partielles des séries numériques. Exemples.
De nombreux candidats commencent leur plan par une longue exposition des conditions classiques assurant la convergence ou la divergence des séries numériques. Sans être hors sujet, cette exposition ne doit pas former l’essentiel de la matière de la leçon. Le thème central de la leçon est en effet le comportement asymptotique des restes et sommes partielles (équivalents, développements asymptotiques — par exemple pour certaines suites récurrentes — cas des séries de Riemann, . . .).
On peut aussi s’intéresser à certaines sommes particulières, que ce soit pour exhiber des nombres irrationnels (voire transcendants), ou mettre en valeur des techniques de calculs non triviales (par exemple en faisant appel aux séries de Fourier ou aux séries entières).
Enfin le jury apprécie que le théorème des séries alternées (avec sa version sur le contrôle du reste) soit maîtrisé, mais on rappelle aussi que la transformation d’Abel trouve toute sa place dans cette leçon.
Autres rapports
2015
230 - Séries de nombres réels ou complexes. Comportement des restes ou des sommes partielles des séries numériques. Exemples.)
De nombreux candidats commencent leur plan par une longue exposition des conditions classiques assurant la convergence ou la divergence des séries numériques. Sans être véritablement hors sujet, cette exposition ne doit pas former l'essentiel de la matière de la leçon. Le thème central de la leçon est en effet le comportement asymptotique des restes et sommes partielles (équivalents, ... ) et leurs applications diverses, comme par exemple des résultats d'irrationalité, voire de transcendance. Enfin on rappelle que la transformation d'Abel trouve toute sa place dans cette leçon.
2014
230 - Séries de nombres réels ou complexes. Comportement des restes ou des sommes partielles des séries numériques. Exemples.)
De nombreux candidats commencent leur plan par une longue exposition des conditions classiques assurant la convergence ou la divergence des séries numériques. Sans être véritablement hors sujet, cette exposition ne doit pas former l'essentiel du plan. Le thème central de la leçon est en effet le comportement asymptotique des restes et sommes partielles (équivalents, etc...) et leurs applications diverses, comme par exemple des résultats d'irrationalité, voire de transcendance. Enfin on rappelle que la transformation d'Abel trouve toute sa place dans cette leçon.
Développements :
- $e$ est irrationnel. Construction d'un nombre transcendant.
- Jeu de pile ou face de Lebesgue
- lemme de kronecker et loi forte des grands nombres
- Construction de l'exponentielle et de Pi
- Développement asymptotique de la série harmonique
- Théorème de réarrangment de Riemann
- Surjectivité de l'exponentielle complexe
- Quelques ordres moyens
- Probabilité que deux nombres soient premiers entre eux
- Séries (non) commutativement convergente
- Méthode de Newton pour les polyômes
- Théorème de Riesz-Fischer (a.k.a. Lp est complet)
- Théorème de Banach-Steinhaus et série de Fourier divergente
- Les automorphismes isométriques des l(p)
- Théorème des lacunes d'Hadamard
- Théorème taubérien fort
- Suite récurrente : convergence lente
- Théorème d'Abel angulaire
- Théorème de Müntz
- Formule sommatoire de Poisson
- L_p complet
