Leçon 205 * : Espaces complets. Exemples et applications.
Dernier rapport du Jury : 2016
205 - Espaces complets. Exemples et applications.
Les candidats devraient faire apparaître que l’un des intérêts essentiels de la complétude est de fournir des théorèmes d’existence : que ce soit tout simplement dans R ou C mais aussi dans certains espaces de dimension infinie (par exemple dans certains espaces de fonctions). Il est important de présenter des exemples d’espaces usuels, dont on sait justifier la complétude. Rappelons ici que l’on attend des candidats une bonne maîtrise de la convergence uniforme. Les espaces $L^p$ sont des exemples pertinents qui ne sont pas sans danger pour des candidats aux connaissances fragiles. On peut évoquer dans cette leçon des théorèmes classiques tels que le théorème de Cauchy-Lipschitz ou le théorème du point fixe des applications contractantes.
On ne s’aventurera pas à parler du théorème de Baire sans application pertinente et maîtrisée ; elles sont nombreuses. Rappelons à ce propos que la démonstration détaillée de l’existence d’une partie dense de fonctions continues dérivables en aucun point est délicate.
Autres rapports
2015
205 - Espaces complets. Exemples et applications.)
Les candidats devraient faire apparaître que l'un des intérêts essentiels de la complétude est de fournir des théorèmes d'existence en dimension infinie, en particulier dans les espaces de fonctions. Rappelons que l'on attend des candidats une bonne maîtrise de la convergence uniforme. Le théorème de Cauchy-Lipschitz, mal maîtrisé par beaucoup de candidats, est un point important de cette leçon. Les espaces $L^p$ sont des exemples pertinents qui ne sont pas sans danger pour des candidats aux connaissances fragiles.
On ne s'aventurera pas à parler du théorème de Baire sans application pertinente et maîtrisée. Rappelons à ce propos que la démonstration détaillée de l'existence d'une partie dense de fonctions continues dérivables en aucun point est réservée aux candidats solides.
2014
205 - Espaces complets. Exemples et applications.)
Les candidats devraient faire apparaître que l'un des intérêts essentiel de la complétude est de fournir des théorèmes d'existence en dimension infinie, en particulier dans les espaces de fonctions. Rappelons que l'on attend des candidats une bonne maîtrise de la convergence uniforme. Le théorème de CauchyLipschitz, mal maîtrisé par beaucoup de candidats, est un point important de cette leçon.
Les espaces $L_p$ sont des exemples pertinents qui ne sont pas sans danger pour des candidats aux connaissances fragiles.
Le théorème de Baire trouve naturellement sa place dans cette leçon, mais il faut l'accompagner d'applications. Rappelons que celles-ci ne se limitent pas aux théorèmes de Banach-Steinhaus et du graphe fermé, mais qu'on peut évoquer au niveau de l'agrégation l'existence de divers objets : fonctions continues nulle part dérivables, points de continuité pour les limites simples de suites de fonctions continues, vecteurs à orbite dense pour certains opérateurs linéaires, etc. Les candidats prendront toutefois garde à ne pas présenter des applications de ce théorème au dessus de leur force.
Développements :
- Espace de Bergman du disque unité
- Théorème de Banach-Steinhaus et série de Fourier divergente
- Théorème de l'application ouverte
- Théorème de Cauchy-Lipschitz local
- Théorème de Riesz-Fischer (a.k.a. Lp est complet)
- Projection sur un convexe fermé
- Théorème de Morgenstern
- L_p complet
- Caracterisation de la convergence en probabilités et L0 complet
- Dual de Lp
- Densité des fonctions continues nulles part dérivables
- opérateurs hypercycliques
- Lemme de Grothendieck
- Diagonalisation des opérateurs symétriques compacts
- Théorème de Lax-Milgram et une application
- Injection compacte dans les espaces de Sobolev
- Théorème d'inversion locale
- Caractères linéaires continus de U
- Optimisation dans un Hilbert
- Base hilbertienne des polynômes orthogonaux
Plans/remarques :
Plan de Promo ENSL 2016
2016
