Leçon 205 * : Espaces complets. Exemples et applications.

Dernier rapport du Jury : 2015

Les candidats devraient faire apparaître que l'un des intérêts essentiels de la complétude est de fournir des théorèmes d'existence en dimension infinie, en particulier dans les espaces de fonctions. Rappelons que l'on attend des candidats une bonne maîtrise de la convergence uniforme. Le théorème de Cauchy-Lipschitz, mal maîtrisé par beaucoup de candidats, est un point important de cette leçon. Les espaces $L^p$ sont des exemples pertinents qui ne sont pas sans danger pour des candidats aux connaissances fragiles. On ne s'aventurera pas à parler du théorème de Baire sans application pertinente et maîtrisée. Rappelons à ce propos que la démonstration détaillée de l'existence d'une partie dense de fonctions continues dérivables en aucun point est réservée aux candidats solides.
2014 205 - Espaces complets. Exemples et applications.) Les candidats devraient faire apparaître que l'un des intérêts essentiel de la complétude est de fournir des théorèmes d'existence en dimension infinie, en particulier dans les espaces de fonctions. Rappelons que l'on attend des candidats une bonne maîtrise de la convergence uniforme. Le théorème de CauchyLipschitz, mal maîtrisé par beaucoup de candidats, est un point important de cette leçon. Les espaces $L_p$ sont des exemples pertinents qui ne sont pas sans danger pour des candidats aux connaissances fragiles. Le théorème de Baire trouve naturellement sa place dans cette leçon, mais il faut l'accompagner d'applications. Rappelons que celles-ci ne se limitent pas aux théorèmes de Banach-Steinhaus et du graphe fermé, mais qu'on peut évoquer au niveau de l'agrégation l'existence de divers objets : fonctions continues nulle part dérivables, points de continuité pour les limites simples de suites de fonctions continues, vecteurs à orbite dense pour certains opérateurs linéaires, etc. Les candidats prendront toutefois garde à ne pas présenter des applications de ce théorème au dessus de leur force.

Plans/remarques :

Pas de plans pour cette leçon.

Retours d'oraux :

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