Leçon 190 : Méthodes combinatoires, problèmes de dénombrement.
Dernier rapport du Jury : 2016
190 - Méthodes combinatoires, problèmes de dénombrement.
Il est nécessaire de dégager clairement différentes méthodes de dénombrement et les illustrer d’exemples significatifs. De nombreux domaines de mathématiques sont concernés par des problèmes de dénombrement, cet aspect varié du thème de la leçon doit être mis en avant. L’utilisation de séries génératrices est un outil puissant pour le calcul de certains cardinaux. De plus il est naturel de calculer des cardinaux classiques et certaines probabilités. Il est important de connaître l’interprétation ensembliste de la somme des coefficients binomiaux, et ne pas se contenter d’une justification par le binôme de Newton. L’introduction des corps finis (même en se limitant aux cardinaux premiers) permet de créer un lien avec l’algèbre linéaire. Les actions de groupes peuvent également conduire à des résultats remarquables.
S’ils le désirent, les candidats peuvent aussi présenter des applications de la formule d’inversion de Möebius ou de la formule de Burnside.
Autres rapports
2015
190 - Méthodes combinatoires, problèmes de dénombrement.)
Il faut dans un premier temps dégager clairement les méthodes et les illustrer d'exemples significatifs. L'utilisation de séries génératrices est un outil puissant pour le calcul de certains cardinaux. Le jury s'attend à ce que les candidats sachent calculer des cardinaux classiques et certaines probabilités !
L'introduction des corps finis (même en se limitant aux cardinaux premiers) permet de créer un lien fécond avec l'algèbre linéaire.
2014
190 - Méthodes combinatoires, problèmes de dénombrement.)
Il faut dans un premier temps dégager clairement les méthodes et les illustrer d'exemples significatifs. L'utilisation de séries génératrices est un outil puissant pour le calcul de certains cardinaux. Le jury s'attend à ce que les candidats sachent calculer des cardinaux classiques et certaines probabilités ! L'introduction des corps finis (même en se limitant aux cardinaux premiers) permet de créer un lien fécond avec l'algèbre linéaire.
Développements :
- Dénombrement des colorations du dodécaèdre
- Des isomorphismes exceptionnels des groupes linéaires projectifs d'un corps fini.
- Le dénombrement des polynômes irréductibles unitaires sur un corps fini
- Probabilité que deux nombres soient premiers entre eux
- Isomorphisme entre $GL_n(K)$ et $GL_m(L)$
- Matrices de transfert
- Combinatoire des chemins de Dyck
- Cardinal du cône nilpotent
- Dobble et géométrie projective
- Nombre de solutions d'équations polynomiales sur Fq
- Nombres de Bell
- Équation de Fermat sur un corps fini
- Automorphismes de Sn
- Partition d'un entier en parts fixées
- Théorème de Sylow (version opération de groupes)
- Théorème de Barany
- Test de Miller-Rabin
- Théorème de Sylow (par récurrence sur le cardinal)
- Loi de réciprocité quadratique (via les formes quadratiques)
- Simplicité du groupe alterné
- Théorème de Bézout faible (par le résultant)
- Théorème de Wedderburn
Plans/remarques :
Plan de Promo ENSL 2016
2016
Plan de Promo ENSL 2016
2016
