Leçon 158 * : Matrices symétriques réelles, matrices hermitiennes.
Dernier rapport du Jury : 2016
158 - Matrices symétriques réelles, matrices hermitiennes.
Le théorème spectral est indispensable dans cette leçon sans toutefois être un développement consistant. La notion de signature doit être présentée ainsi que son unicité dans la classe de congruence d’une matrice symétrique réelle. L’action du groupe linéaire et du groupe orthogonal sur l’espace des matrices symétriques peut donner un cadre naturel à cette leçon. Le lien avec les formes quadratiques et les formes hermitiennes est incontournable. La partie réelle et la partie imaginaire d’un produit hermitien définissent des structures sur l’espace vectoriel réel sous-jacent. L’orthogonalisation simultanée est un résultat important de cette leçon. Il faut en connaître les applications géométriques aux quadriques.
Autres rapports
2015
158 - Matrices symétriques réelles, matrices hermitiennes.)
C'est une leçon transversale. La notion de signature doit bien sûr figurer dans la leçon et on ne doit surtout pas se cantonner au cas des matrices définies positives. L'action du groupe linéaire sur l'espace des matrices symétriques peut donner un cadre naturel à cette leçon.
Curieusement, il est fréquent que le candidat énonce l'existence de la signature d'une matrice symétrique réelle sans en énoncer l'unicité dans sa classe de congruence.
L'orthogonalisation simultanée est un résultat important de cette leçon. Il faut en connaître les applications géométriques aux quadriques.
On doit faire le lien avec les formes quadratiques et les formes hermitiennes. La partie réelle et la partie imaginaire d'un produit hermitien définissent des structures sur l'espace vectoriel réel sous-jacent.
2014
158 - Matrices symétriques réelles, matrices hermitiennes.)
C'est une leçon transversale. La notion de signature doit figurer dans la leçon et on ne doit surtout pas se cantonner au cas des matrices définies positives. Curieusement, il est fréquent que le candidat énonce l'existence de la signature d'une matrice symétrique réelle sans en énoncer l'unicité dans sa classe de congruence. On doit faire le lien avec les formes quadratiques et les formes hermitiennes. La partie réelle et la partie imaginaire d'un produit hermitien définissent des structures sur l'espace vectoriel réel sous-jacent.
Développements :
- Lemme de Morse
- Décomposition polaire
- L'exponentielle induit un homéomorphisme entre $\mathcal{S}_n(\mathbb{R})$ et $\mathcal{S}_n^{++}(\mathbb{R})$
- Méthode du gradient conjugué
- Ellipsoïde de John Loewner
- Diagonalisation des endomorphismes autoadjoints
- Enveloppe convexe de On(R)
- Méthode de relaxation
- Méthode de Jacobi
- Etude de O(p,q)
- Théorème de Witt
Plans/remarques :
Plan de Promo ENSL 2016
2016
