Leçon 106 : Groupe linéaire d'un espace vectoriel de dimension finie $E$, sous-groupes de $GL(E)$. Applications
Dernier rapport du Jury : 2016
106 - Groupe linéaire d'un espace vectoriel de dimension finie $E$, sous-groupe de $GL(E)$. Applications.
Cette leçon ne doit pas se résumer à un catalogue de résultats épars sur $GL(E)$. Il est important de savoir faire correspondre les sous-groupes du groupe linéaire avec les stabilisateurs de certaines actions naturelles (sur des formes quadratiques, symplectiques, sur des drapeaux, sur une décomposition en somme directe, etc.). On doit présenter des systèmes de générateurs, étudier la topologie et préciser pourquoi le choix du corps de base est important. Les liens avec le pivot de Gauss sont à détailler.
Il faut aussi savoir réaliser $\mathfrak{S}_n$ dans $GL(n,K)$ et faire le lien entre signature et déterminant. S’ils le désirent, les candidats peuvent aller plus loin en remarquant que la théorie des représentations permet d’illustrer l’importance de $GL_n(C)$ et de son sous-groupe unitaire.
Autres rapports
2015
106 - Groupe linéaire d'un espace vectoriel de dimension finie $E$, sous-groupes de $GL(E)$. Applications.)
Cette leçon est souvent présentée comme un catalogue de résultats épars et zoologiques sur $GL(E)$. Il serait bien que les candidats unifient la présentation de la leçon en faisant correspondre les sous-groupes du groupe linéaire avec les stabilisateurs de certaines actions naturelles (sur des formes quadratiques, symplectiques, sur des drapeaux, sur une décomposition en somme directe, etc.).
À quoi peuvent servir des générateurs du groupe $GL(E)$ ? Qu'apporte la topologie dans cette leçon ? Il est préférable de se poser ces questions avant de les découvrir le jour de l'oral. Certains candidats affirment que $GL_n(\mathbb{K})$ est dense (et ouvert) dans $M_n(\mathbb{K})$. Il est judicieux de préciser les hypothèses nécessaires sur le corps $\mathbb{K}$ ainsi que la topologie sur $M_n(\mathbb{K})$.
La présentation du pivot de Gauss et de ses applications se justifient pleinement.
Il faut aussi savoir réaliser $\mathfrak{S}_n$ dans $GL(n,\mathbb{K})$ et faire le lien entre signature et déterminant. Dans le même ordre d'idée, la théorie des représentations permet d'illustrer, dans les leçons plus robustes, l'omniprésence de $GL_n(\mathbb{C})$ et de son sous-groupe unitaire.
2014
106 - Groupe linéaire d'un espace vectoriel de dimension finie $E$, sous-groupes de $GL(E)$. Applications.)
Cette leçon est souvent présentée comme un catalogue de résultats épars et zoologiques sur $GL(E)$. Il faudrait que les candidats sachent faire correspondre sous-groupes et noyaux ou stabilisateurs de certaines actions naturelles (sur des formes quadratiques, symplectiques, sur des drapeaux, sur une décomposition en somme directe, etc.). À quoi peuvent servir des générateurs du groupe $GL(E)$ ? Qu'apporte la topologie dans cette leçon ? Il est préférable de se poser ces questions avant de les découvrir le jour de l'oral.
Certains candidats affirment que $GL_n(K)$ est dense (respectivement ouvert) dans $M_n(K)$ . Il est judicieux de préciser les hypothèses nécessaires sur le corps K ainsi que la topologie sur $M_n(K)$.
Il faut aussi savoir réaliser $S_n$ dans $GL(n,R)$ et faire le lien entre signature et déterminant.
Développements :
- Un théorème de Cartan et Von Neumann
- Décomposition polaire
- SO?(R) et les quaternions
- Théorème du point fixe de Kakutani et sous-groupes compacts de GLn(R)
- Sous-groupes arbitrairement petits de $GL_n(\mathbb{K})$
- Isomorphisme entre $GL_n(K)$ et $GL_m(L)$
- Théorème de Burnside
- Théorème de Lie-Kolchin
- Un isomorphisme entre groupes topologiques
- Théorème de point fixe de Kakutani (par Hahn-Banach)
- Des isomorphismes exceptionnels des groupes linéaires projectifs d'un corps fini.
- Cardinal du cône nilpotent
- Etude de O(p,q)
- S4 est un groupe de pavage
- Théorème de Von Neumann des sous-variétés
- Générateurs du groupe Isom(E)
- Théorème de Witt
- Théorème de Frobenius-Zolotarev
- Générateurs de O(E)
- Théorème de Brauer
- Simplicité de SOn(R)
- Surjectivité de l'exponentielle matricielle
- Le groupe modulaire
- Enveloppe convexe de On(R)
