Leçon 102 * : Groupe des nombres complexes de modules $1$. Sous-groupes des racines de l'unité. Applications
Dernier rapport du Jury : 2016
102 - Groupe des nombres complexes de module $1$. Sous-groupes des racines de l'unité. Applications.
Il ne faut pas uniquement aborder cette leçon de façon élémentaire sans réellement expliquer où et comment les nombres complexes de modules 1 et les racines de l’unité apparaissent dans divers domaines des mathématiques (exponentielle complexe et ses applications, polynômes cyclotomiques, spectre de matrices remarquables, théorie des représentations). Il ne faut pas non plus oublier la partie « groupe » de la leçon : on pourra s’intéresser au relèvement du groupe unité au groupe additif des réels et aux propriétés qui en résultent. De même les sous-groupes finis de $S^1$ sont intéressants à considérer dans cette leçon.
On pourra aussi s’intéresser aux groupes des nombres complexes de $Q[i]$, et les racines de l’unité qui y appartiennent ; tout comme aux sous-groupes compacts de $C^*$ .
Autres rapports
2015
102 - Groupe des nombres complexes de module $1$. Sous-groupes des racines de l'unité. Applications.)
Cette leçon est encore abordée de façon élémentaire sans réellement expliquer où et comment les nombres complexes de modules 1 et les racines de l'unité apparaissent dans divers domaines des mathématiques (polynômes cyclotomiques, spectre de matrices remarquables, théorie des représentations). Il ne faut pas non plus oublier la partie "groupe" de la leçon : on pourra s'intéresser au relèvement du groupe unité au groupe additif des réels et aux propriétés qui en résultent (par exemple l'alternative "sous-groupes denses versus sous-groupes monogènes"). On pourra aussi s'intéresser aux groupes des nombres complexes de $Q[i]$, et les racines de l'unité qui y appartiennent.
2014
102 - Groupe des nombres complexes de module $1$. Sous-groupes des racines de l'unité. Applications.)
Cette leçon est encore abordée de façon élémentaire sans réellement expliquer où et comment les nombres complexes de modules 1 et les racines de l'unité apparaissent dans divers domaines des mathématiques (polynômes cyclotomiques, théorie des représentations, spectre de certaines matrices remarquables).
Développements :
- Théorème de Gauss (polygones constructibles)
- Intégralité de la table des groupes symétriques
- Théorème de Dirichlet (fort)
- Caractères linéaires continus de U
- Construction de l'exponentielle et de Pi
- Théorème de Kronecker
- Théorème de Dirichlet faible
- Le théorème de Gauss-Lucas et une application
- Structure des groupes abéliens finis
- Partition d'un entier en parts fixées
- Nombre de solutions d'équations polynomiales sur Fq
- S4 est un groupe de pavage
- Théorème du relèvement
- Ellipse de Steiner
- Irréductibilité des polyômes cyclotomiques sur Q
- Théorème de Burnside
- Slim
