Leçon 102 * : Groupe des nombres complexes de module $1$. Sous-groupes des racines de l'unité. Applications.
Dernier rapport du Jury : 2016
Il ne faut pas uniquement aborder cette leçon de façon élémentaire sans réellement expliquer où et comment les nombres complexes de modules 1 et les racines de l’unité apparaissent dans divers domaines des mathématiques (exponentielle complexe et ses applications, polynômes cyclotomiques, spectre de matrices remarquables, théorie des représentations). Il ne faut pas non plus oublier la partie « groupe » de la leçon : on pourra s’intéresser au relèvement du groupe unité au groupe additif des réels et aux propriétés qui en résultent. De même les sous-groupes finis de $S^1$ sont intéressants à considérer dans cette leçon.
On pourra aussi s’intéresser aux groupes des nombres complexes de $Q[i]$, et les racines de l’unité qui y appartiennent ; tout comme aux sous-groupes compacts de $C^*$ .
Autres rapports
2015
102 - Groupe des nombres complexes de module $1$. Sous-groupes des racines de l'unité. Applications.)
Cette leçon est encore abordée de façon élémentaire sans réellement expliquer où et comment les nombres complexes de modules 1 et les racines de l'unité apparaissent dans divers domaines des mathématiques (polynômes cyclotomiques, spectre de matrices remarquables, théorie des représentations). Il ne faut pas non plus oublier la partie "groupe" de la leçon : on pourra s'intéresser au relèvement du groupe unité au groupe additif des réels et aux propriétés qui en résultent (par exemple l'alternative "sous-groupes denses versus sous-groupes monogènes"). On pourra aussi s'intéresser aux groupes des nombres complexes de $Q[i]$, et les racines de l'unité qui y appartiennent.
2014
102 - Groupe des nombres complexes de module $1$. Sous-groupes des racines de l'unité. Applications.)
Cette leçon est encore abordée de façon élémentaire sans réellement expliquer où et comment les nombres complexes de modules 1 et les racines de l'unité apparaissent dans divers domaines des mathématiques (polynômes cyclotomiques, théorie des représentations, spectre de certaines matrices remarquables).
Développements :
- Théorème de Gauss (polygones constructibles)
- Caractères linéaires continus de U
- Construction de l'exponentielle et de Pi
- Théorème de Dirichlet faible
- Théorème de Kronecker
- Théorème de Dirichlet (fort)
- Partition d'un entier en parts fixées
- Structure des groupes abéliens finis
- Théorème du relèvement
- Nombre de solutions d'équations polynomiales sur Fq
- S4 est un groupe de pavage
- Ellipse de Steiner
- Théorème de Burnside
- Irréductibilité des polyômes cyclotomiques sur Q
