Leçon 239 : Fonctions définies par une intégrale dépendant d'un paramètre. Exemples et applications.
Dernier rapport du Jury : 2016
239 - Fonctions définies par une inégrales dépendant d'un paramètre. Exemples et applications.
Souvent les candidats incluent les théorèmes de régularité (version segment — a minima — mais aussi version “convergence dominée”) ce qui est pertinent. Cette leçon peut être enrichie par des études et méthodes de comportements asymptotiques. Les propriétés de la fonction $\Gamma$ d’Euler fournissent un développement standard (il sera de bon ton d’y inclure le comportement asymptotique). Les différentes transformations classiques (Fourier, Laplace, . . .) relèvent aussi de cette leçon. On peut en donner des applications pour obtenir la valeur d’intégrales classiques (celle de l’intégrale de Dirichlet par exemple).
Pour aller plus loin, on peut par exemple développer les propriétés des transformations mentionnées (notamment Fourier), ainsi que de la convolution.
Autres rapports
2015
239 - Fonctions définies par une inégrales dépendant d'un paramètre. Exemples et applications.)
Cette leçon peut être enrichie par des études et méthodes de comportements asymptotiques. Les différentes transformations classiques (Fourier, Laplace, ...) relèvent aussi de cette leçon.
2014
239 - Fonctions définies par une inégrales dépendant d'un paramètre. Exemples et applications.)
Cette leçon doit être enrichie par des études et méthodes asymptotiques et les transformations classiques (Fourier, Laplace, etc.).
Développements :
- Intégrale de Dirichlet
- Prolongement de la fonction gamma d'Euler
- Méthode de la phase stationnaire
- Intégrale de Fresnel
- Géodésiques du demi plan de Poincarré
- Formule d'inversion de Fourier dans S(Rd) ou L(Rd)
- Méthode de Laplace
- Prolongement de la fonction Zeta de Riemann
- Équation fonctionnelle de la fonction zêta de Riemann
- Fonction caractéristique de cauchy
- Théorème de Paley-Wiener
- Chemin optique et calcul des variations
- Théorème du relèvement
- Équation de la chaleur sur le cercle
- Théorème de Riesz-Fischer (a.k.a. Lp est complet)
- Théorème de Jordan C1
- Densité des polynômes orthogonaux
- Formule des compléments
- Base hilbertienne des polynômes orthogonaux
- Espace de Bergman du disque unité
- Fonctions caractéristiques et moments
- Solutions développables en série entière de l'équation de Bessel
- Densité des fonctions tests dans Lp
- Lemme de Morse
- Formule sommatoire de Poisson
Plans/remarques :
Plan de Promo ENSL 2016
2016
