Leçon 226 : Suites vectorielles et réelles définies par une relation de récurrence $u_{n+1} = f(u_n)$. Exemples. Applications à la résolution approchée d'équations.
Dernier rapport du Jury : 2016
226 - Suites vectorielles et réelles définies par une relation de récurrence $u_{n+1} = f(u_n)$. Exemples et applications.
Citer au moins un théorème de point fixe dans cette leçon est pertinent. Le jury attend d’autres exemples que la traditionnelle suite récurrente $u_{n+1} = \sin(u_n)$ (dont il est souhaitable de savoir expliquer les techniques sous-jacentes).
La nouvelle formulation de cette leçon, qui sera en vigueur en 2017, invite à évoquer les problématiques de convergence d’algorithmes (notamment savoir estimer la vitesse), d’approximation de solutions de problèmes linéaires et non linéaires : dichotomie, méthode de Newton, algorithme du gradient, méthode de la puissance, méthodes itératives de résolution de systèmes linéaires, schéma d’Euler, ...
L’aspect vectoriel est souvent négligé. Par exemple, le jury attend des candidats qu’ils répondent de façon pertinente à la question de la généralisation de l’algorithme de Newton au moins dans $R^2$, voire $R^n$.
Autres rapports
2015
226 - Suites vectorielles et réelles définies par une relation de récurrence $u_{n+1} = f(u_n)$. Exemples et applications.)
Le jury attend d'autres exemples que la traditionnelle suite récurrente $u_{n+1} = \sin(u_n)$. Les suites homographiques réelles ou complexes fournissent des exemples intéressants, rarement évoqués.
Cette leçon doit être l'occasion d'évoquer les problématiques de convergence d'algorithmes, d'approximation de solutions de problèmes linéaires et non linéaires : dichotomie, méthode de Newton, algorithme du gradient, méthode de la puissance, méthodes itératives de résolution de systèmes linéaires, schéma d'Euler, ...
L'aspect vectoriel est souvent négligé. Par exemple, le jury attend des candidats qu'ils répondent de façon pertinente à la question de la généralisation de l'algorithme de Newton dans $\mathbb{R}^2$.
2014
226 - Suites vectorielles et réelles définies par une relation de récurrence $u_{n+1} = f(u_n)$. Exemples et applications.)
Exemples et applcations. un`1 “ f pun q. Le jury attend d'autres exemples que la traditionnelle suite récurrente $u_{n+1} = \sin(u_n)$. Les suites homographiques réelles ou complexes fournissent des exemples intéressants, rarement évoqués.
Cette leçon doit être l'occasion d'évoquer les problématiques de convergence d'algorithmes d'approximation de solutions de problèmes linéaires et non linéaires : dichotomie, méthode de Newton, algorithme du gradient, méthode de la puissance, méthodes itératives de résolution de système linéaire, schéma d'Euler ...
Développements :
- Processus de Galton-Watson (ou processus de branchement)
- Étude de la suite logistique : x(n+1) = 1 - a x(n)^2
- Méthodes itératives de résolution d'un système linéaire
- Méthode de Newton
- Méthode de Newton pour les polyômes
- Méthode de relaxation
- Suite récurrente : convergence lente
- Théorème de Sharkovski
- Suite de polygones
- Méthode de Newton-Raphson
- Algorithme du gradient à pas optimal
- opérateurs hypercycliques
