Leçon 218 : Applications des formules de Taylor.
Dernier rapport du Jury : 2016
218 - Applications des formules de Taylor.
Il faut connaître les formules de Taylor et certains développements très classiques. En général, le développement de Taylor d’une fonction comprend un terme de reste qu’il est crucial de savoir analyser. Le candidat doit pouvoir justifier les différentes formules de Taylor proposées ainsi que leur intérêt. Le jury s’inquiète des trop nombreux candidats qui ne savent pas expliquer clairement ce que signifient les notations o ou O qu’ils utilisent. De plus la différence entre l’existence d’un développement limité à l’ordre deux et l’existence de dérivée seconde doit être connue. On peut aussi montrer comment les formules de Taylor permettent d’établir le caractère développable en série entière (ou analytique) d’une fonction dont on contrôle les dérivées successives.
Pour aller plus loin, on peut mentionner des applications en algèbre bilinéaire (lemme de Morse), en géométrie (étude locale au voisinage des points stationnaires pour les courbes et des points critiques pour la recherche d’extrema) et, même si c’est plus anecdotique, en probabilités (Théorème central limite). On peut aussi penser à la méthode de Laplace, du col, de la phase stationnaire ou aux inégalités contrôlant les dérivées intermédiaires lorsque f et sa dérivée n-ième sont bornées. On soignera particulièrement le choix des développements.
Autres rapports
2015
218 - Applications des formules de Taylor.)
Il faut connaître les formules de Taylor des polynômes et certains développements très classiques. En général, le développement de Taylor d'une fonction comprend un terme de reste qu'il est crucial de savoir analyser. Le candidat doit pouvoir justifier les différentes formules de Taylor proposées ainsi que leur intérêt. Le jury s'inquiète des trop nombreux candidats qui ne savent pas expliquer clairement ce que signifient les notations $o$ ou $O$ qu'ils utilisent.
De plus la différence entre l'existence d'un développement limité à l'ordre deux et l'existence de dérivée seconde doit être connue.
Il y a de très nombreuses applications en géométrie et probabilités (par exemple le théorème central limite). On peut aussi penser à la méthode de Laplace, du col, de la phase stationnaire ou aux inégalités $||f^{(k)}|| \le 2^{k(n-k)/2} ||f||^{1 - k/n} ||f^{(n)}||^{k/n}$ (lorsque $f$ et sa dérivée $n$-ième sont bornées). On soignera particulièrement le choix des développements.
2014
218 - Applications des formules de Taylor.)
Il faut connaître les formules de Taylor des polynômes et certains développements très classiques. En général, le développement de Taylor d'une fonction comprend un terme de reste qu'il est crucial de savoir analyser. Le jury s'inquiète des trop nombreux candidats qui ne savent pas expliquer clairement ce que signifient les notations $o$ ou $O$ qu'ils utilisent.
Il y a de très nombreuses applications en géométrie et probabilités (le théorème central limite). On peut aussi penser à la méthode de Laplace, du col, de la phase stationnaire ou aux inégalités $||f^{(k)} || \leq 2^{\frac{k(n-k)}{2}} ||f||^{1-k/n} ||f^{(n)}||^{k/n}$ (lorsque f et sa dérivée n-ème sont bornées). On soignera particulièrement le choix des développements.
Développements :
- Méthode de Newton-Raphson
- Fonctions caractéristiques et moments
- Méthode de Newton pour les polyômes
- Méthode de la phase stationnaire
- Lemme de Morse
- Méthode de Laplace
- Théorème central limite
- Théorème de Bernstein pour les séries entières
- Suite récurrente : convergence lente
- Schéma numérique pour l'équation de la chaleur
