Leçon 201 * : Espaces de fonctions ; exemples et applications.
Dernier rapport du Jury : 2016
201 - Espaces de fonctions : exemples et applications.
C’est une leçon riche où le candidat devra choisir soigneusement le niveau auquel il souhaite se placer. Les espaces de fonctions continues sur un compact (par exemple l’intervalle $[0,1]$) offrent des exemples élémentaires et pertinents. Dans ce domaine, le jury attend une maîtrise du fait qu’une limite uniforme de fonctions continues est continue. Les candidats peuvent se concentrer dans un premier temps sur les espaces de fonctions continues et les bases de la convergence uniforme. Les espaces de Hilbert de fonctions comme l’espace des fonctions $L^2$ constituent ensuite une ouverture déjà significative.
Pour aller plus loin, d’autres espaces usuels tels que les espaces $L^p$ ont tout à fait leur place dans cette leçon. Le théorème de Riesz-Fischer est alors un très bon développement pour autant que ses difficultés soient maîtrisées. Les espaces de fonctions holomorphes sur un ouvert de C constituent aussi une ouverture de très bon niveau.
Autres rapports
2015
202 - Exemples de parties denses et applications.)
Il ne faut pas négliger les exemples élémentaires comme par exemple les sous-groupes de $\mathbb{R}$ et leurs applications. Cette leçon permet aussi d'explorer les questions d'approximations de fonctions par des polynômes et des polynômes trigonométriques. Au delà des exemples classiques, les candidats plus ambitieux peuvent aller jusqu'à la résolution d'équations aux dérivées partielles par séries de Fourier.
2014
202 - Exemples de parties denses et applications.)
Cette leçon permet d'explorer les questions d'approximations de fonctions par des polynômes et des polynômes trigonométriques. Au delà des exemples classiques, les candidats plus ambitieux peuvent aller jusqu'à la résolution d'équations aux dérivées partielles (ondes, chaleur, Schrödinger) par séries de Fourier.
Développements :
- Points de Lebesgue d'une fonction L1
- Théorème de Müntz
- Densité des fonctions tests dans Lp
- Théorème de Stone-Weierstrass
- Densité des fonctions continues nulles part dérivables
- Espace de Bergman du disque unité
- L_p complet
- Prolongement d'applications uniformément continues définies sur une partie dense
- Dual de Lp
- Théorème de prolongement de Tietze
- Théorème de Fourier-Plancherel
- opérateurs hypercycliques
- Théorème de Weierstrass (par les probabilités)
- Lemme de Grothendieck
- Base hilbertienne des polynômes orthogonaux
- Théorème Fourier-Plancherel
- Critère de Weyl
- Caractères linéaires continus de U
- Densité des polynômes orthogonaux
- Théorème taubérien fort
- Théorème du point fixe de Brouwer
- Théorème de l'application ouverte
- Les automorphismes isométriques des l(p)
- Théorème de cauchy-Lipschitz, via le Théorème des fonctions implicites
Plans/remarques :
Plan de Promo ENSL 2016
2016
