Leçon 157 : Endomorphismes trigonalisables. Endomorphismes nilpotents.

Dernier rapport du Jury : 2016

157 - Endomorphismes trigonalisables. Endomorphismes nilpotents. L’utilisation des noyaux itérés est fondamentale dans cette leçon, ceci pour déterminer si deux matrices nilpotentes sont semblables par exemple. Il est intéressant de présenter des conditions suffisantes de trigonalisation simultanée ; l’étude des endomorphismes cycliques a toute sa place dans cette leçon. Notons que l’étude des nilpotents en dimension 2 débouche naturellement sur des problèmes de quadriques et que l’étude sur un corps fini donne lieu à de jolis problèmes de dénombrement. S’ils le désirent, les candidats peuvent aussi présenter la décomposition de Frobenius.
2015 157 - Endomorphismes trigonalisables. Endomorphismes nilpotents.) Il est possible de mener une leçon de bon niveau, même sans la décomposition de Jordan, à l'aide des noyaux itérés. On doit savoir déterminer si deux matrices nilpotentes sont semblables grâce aux noyaux itérés (ou grâce à la décomposition de Jordan si celle-ci est maîtrisée). Deux endomorphismes trigonalisables qui commutent sont simultanément trigonalisables, mais une grande proportion de candidats pensent à tort que la réciproque est vraie. Notons que l'étude des nilpotents en dimension 2 débouche naturellement sur des problèmes de quadriques et que l'étude sur un corps fini donne lieu à de jolis problèmes de dénombrement.
2014 157 - Endomorphismes trigonalisables. Endomorphismes nilpotents.) Il est possible de mener une leçon de bon niveau, même sans la décomposition de Jordan à l'aide des noyaux itérés. On doit savoir déterminer si deux matrices nilpotentes sont semblables grâce aux noyaux itérés (ou grâce à la décomposition de Jordan si celle-ci est maîtrisée). Notons que l'étude des nilpotents en dimension 2 débouche naturellement sur des problèmes de quadriques et l'étude sur un corps fini donne lieu à de jolis problèmes de dénombrement.

Retours d'oraux :

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