Leçon 150 : Exemples d'actions de groupes sur les espaces de matrices.
Dernier rapport du Jury : 2016
150 - Exemples d'actions de groupes sur les espaces de matrices.
Dans cette leçon il faut présenter différentes actions (congruence, similitude, équivalence, ...) et dans chaque cas on pourra dégager d’une part des invariants (rang, matrices échelonnées réduites...), d’autre part des algorithmes comme le pivot de Gauss. On peut aussi, si l’on veut aborder un aspect plus théorique, faire apparaître à travers ces actions quelques décompositions célèbres ; on peut décrire les orbites lorsque la topologie s’y prête.
S’ils le désirent, les candidats peuvent travailler sur des corps finis et utiliser le dénombrement dans ce contexte.
Autres rapports
2015
150 - Exemples d'actions de groupes sur les espaces de matrices.)
Cette leçon demande un certain recul. Les actions ne manquent pas et selon l'action, on pourra dégager d'une part des invariants (rang, matrices échelonnées réduites), d'autre part des algorithmes. On peut aussi, si l'on veut aborder un aspect plus théorique, faire apparaître à travers ces actions quelques décompositions célèbres, ainsi que les adhérences d'orbites, lorsque la topologie s'y prête.
On pourra aussi travailler sur des corps finis et utiliser le dénombrement dans ce contexte.
2014
150 - Exemples d'actions de groupes sur les espaces de matrices.)
Cette leçon n'a pas souvent été prise, elle demande un certain recul. Les actions ne manquent pas et selon l'action, on pourra dégager d'une part des invariants (rang, matrices échelonnées réduites), d'autre part des algorithmes. On peut aussi, si l'on veut aborder un aspect plus théorique, faire apparaître à travers ces actions quelques décompositions célèbres, ainsi que les adhérences d'orbites, lorsque la topologie s'y prête.
Développements :
- Mise sous forme échelonnée normalisée
- Théorème de Lie-Kolchin
- Classification des formes quadratiques sur Fq
- Réduction des endomorphismes normaux
- Théorème de Witt
- Décomposition polaire
- Endomorphismes de Mn(C) stabilisant le groupe linéaire
- Ellipsoïde de John Loewner
- Etude de O(p,q)
- Topologie des classes de similitude
- Réduction de Jordan d'un endomorphisme nilpotent
- Invariants de similitude (réduction de Frobenius)
- L'exponentielle induit un homéomorphisme entre $\mathcal{S}_n(\mathbb{R})$ et $\mathcal{S}_n^{++}(\mathbb{R})$
- Loi de réciprocité quadratique (via les formes quadratiques)
- Théorème de Brauer
- Méthodes itératives de résolution d'un système linéaire
- invariants de Smith
- Lemme de Morse
Plans/remarques :
Plan de Promo ENSL 2016
2016
