Leçon 156 * : Exponentielle de matrices. Applications.
Dernier rapport du Jury : 2016
Bien que ce ne soit pas une leçon d’analyse, il faut toutefois pouvoir justifier clairement la convergence de la série exponentielle. La distinction entre le cas réel et complexe doit être clairement évoqué.
Les questions de surjectivité ou d’injectivité doivent être abordées. Par exemple la matrice $A = \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$ est-elle l’exponentielle d’une matrice à coefficients réels ? La matrice définie par blocs $B = \begin{pmatrix} A & 0 \\ 0 & A \end{pmatrix}$ est-elle l’exponentielle d’une matrice à coefficients réels ? La décomposition de Dunford multiplicative (décomposition de Jordan) de exppAq trouve toute son utilité dans cette leçon. Notons que l’exponentielle fait bon ménage avec la décomposition polaire dans bon nombre de problèmes sur les sous-groupes du groupe linéaire. L’étude du logarithme (quand il est défini) trouve toute sa place dans cette leçon. Si l’on traite du cas des matrices nilpotentes, on pourra invoquer le calcul sur les développements limités. Les applications aux équations différentielles doivent être évoquées sans constituer l’essentiel de la leçon. On pourra par exemple faire le lien entre réduction et comportement asymptotique, mais le jury déconseille aux candidats de proposer ce thème dans un développement.
S’ils le désirent, les candidats peuvent s’aventurer vers les sous-groupes à un paramètre du groupe linéaire (on peut alors voir si ces sous-groupes constituent des sous-variétés fermées de $GL(n,R)$) ou vers les algèbres de Lie.
Autres rapports
2015
156 - Exponentielle de matrices. Applications.)
C'est une leçon difficile et il faut noter que ce n'est pas une leçon d'analyse. Il faut toutefois pouvoir justifier clairement la convergence de la série exponentielle.
Les questions de surjectivité ou d'injectivité doivent être abordées. Par exemple la matrice $A = \begin{pmatrix} -1 \esperluette 1 \\ 0 \esperluette -1 \end{pmatrix}$ est-elle dans l'image $\exp(M_2(\mathbb{R}))$ ? La matrice définie par blocs $B = \begin{pmatrix} A \esperluette 0 \\ 0 \esperluette A \end{pmatrix}$ est-elle dans l'image $\exp(M_4(\mathbb{R}))$ ?
La décomposition de Dunford multiplicative (décomposition de Jordan) de $\exp(A)$ trouve toute son utilité dans cette leçon. Pour les candidats plus aguerris, les sous-groupes à un paramètre du groupe linéaire y sont tout à fait à propos. On peut s'interroger si ces sous-groupes constituent des sous-variétés fermées de $GL(n,\mathbb{R})$.
Notons que l'exponentielle fait bon ménage avec la décomposition polaire dans bon nombre de problèmes sur les sous-groupes du groupe linéaire.
L'étude du logarithme (quand il est défini) trouve toute sa place dans cette leçon. Si l'on traite du cas des matrices nilpotentes, on pourra invoquer le calcul sur les développements limités.
Les applications aux équations différentielles doivent être évoquées sans constituer l'essentiel de la leçon. On pourra par exemple faire le lien entre réduction et comportement asymptotique, mais le jury déconseille aux candidats de proposer ce thème dans un développement.
Les notions d'algèbres de Lie ne sont pas au programme de l'agrégation, on conseille de n'aborder ces sujets qu'à condition d'avoir une certaine solidité sur la question.
2014
156 - Exponentielle de matrices. Applications.)
C'est une leçon difficile et ce n'est pas une leçon d'analyse. Il faut toutefois pouvoir justifier clairement la convergence de la série exponentielle. Les questions de surjectivité ou d'injectivité doivent être abordées. Par exemple la matrice $A = \begin{pmatrix} -1 \esperluette 1 \\ 0 \esperluette -1 \end{pmatrix}$ est-elle dans l'image $exp(Mat(2, R))$ ? La matrice blocs $B = \begin{pmatrix} A \esperluette 0 \\ 0 \esperluette A \end{pmatrix}$ est-elle dans l'image $exp(Mat(4, R))$ ?
La décomposition de Dunford multiplicative (décomposition de Jordan) de $exp(A)$ doit être connue. Les groupes à un paramètre peuvent trouver leur place dans cette leçon. On peut s'interroger si ces sous-groupes constituent des sous-variétés fermées de $GL(n, R)$. L'étude du logarithme (quand il est défini) trouve toute sa place dans cette leçon. Si on traite du cas des matrices nilpotentes, on pourra invoquer le calcul sur les développements limités.
Les applications aux équations différentielles doivent être évoquées sans constituer l'essentiel de la leçon. On pourra par exemple faire le lien entre réduction et comportement asymptotique, mais le jury déconseille aux candidats de proposer ce thème dans un développement.
Les notions d'algèbres de Lie ne sont pas au programme de l'agrégation, on conseille de n'aborder ces sujets qu'à condition d'avoir une certaine solidité. Sans aller si loin, on pourra donner une application de l'exponentielle à la décomposition polaire de certains sous-groupes fermés de $GL_n$ (groupes orthogonaux par exemple).
Développements :
- Surjectivité de l'exponentielle matricielle
- Théorème de Von Neumann des sous-variétés
- L'exponentielle induit un homéomorphisme entre $\mathcal{S}_n(\mathbb{R})$ et $\mathcal{S}_n^{++}(\mathbb{R})$
- Calcul de exp(Mn(C)) et exp(Mn(R))
- Équation matricielle
- Résolution d'une équation matricielle grâce aux équations différentielles
