Leçon 104 : Groupes finis. Exemples et applications.
Dernier rapport du Jury : 2016
Dans cette leçon il faut savoir manipuler correctement les éléments de différentes structures usuelles ($Z/nZ$, $\mathfrak{S}_n$, etc.) comme par exemple, en proposer un générateur ou une famille de générateurs, savoir calculer un produit de deux permutations, savoir décomposer une permutation en produit de cycles à supports disjoints. Il est important que la notion d’ordre d’un élément soit mentionnée et comprise dans des cas simples. Le théorème de structure des groupes abéliens finis doit être connu.
Les exemples doivent figurer en bonne place dans cette leçon. Les groupes d’automorphismes fournissent des exemples très naturels dans cette leçon. On peut par exemple étudier les groupes de symétries $\mathfrak{A}_4$, $\mathfrak{S}_4$, $\mathfrak{A}_5$ et relier sur ces exemples géométrie et algèbre, les représentations ayant ici toute leur place ; il est utile de connaître les groupes diédraux.
S’ils le désirent, les candidats peuvent ensuite mettre en avant les spécificités de groupes comme le groupe quaternionique, les sous-groupes finis de $SU(2)$ou les groupes $GL_n(F_q)$.
Autres rapports
2015
104 - Groupes finis. Exemples et applications.)
On attend des candidats de savoir manipuler correctement les éléments de quelques structures usuelles ($\mathbb{Z}/n \mathbb{Z}$ , $\mathfrak{S}_n$, etc.). Par exemple, proposer un générateur simple de $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ voire tous les générateurs, calculer aisément un produit de deux permutations, savoir décomposer une permutation en produit de cycles à supports disjoints.
Il est important que la notion d'ordre d'un élément soit mentionnée et comprise dans des cas simples.
Les exemples doivent figurer en bonne place dans cette leçon. On peut par exemple étudier les groupes de symétries $\mathfrak{A}_4$ , $\mathfrak{S}_4$ , $\mathfrak{A}_5$ et relier sur ces exemples géométrie et algèbre, les représentations ayant ici toute leur place. Il est utile de connaître les groupes diédraux, et pour les candidats aguerris, les spécificités de groupes plus exotiques comme le groupe quaternionique. Le théorème de structure des groupes abéliens finis doit être connu.
2014
104 - Groupes finis. Exemples et applications.)
Les exemples doivent figurer en bonne place dans cette leçon. On peut par exemple étudier les groupes de symétries $A_4$ , $S_4$ , $A_5$ et relier sur ces exemples géométrie et algèbre, les représentations ayant ici toute leur place. Le théorème de structure des groupes abéliens finis doit être connu.
On attend des candidats de savoir manipuler correctement les éléments de quelques structures usuelles ($Z/nZ$, $ S_n$, etc.). Par exemple, proposer un générateur simple de $(Z/nZ, +)$ voire tous les générateurs, calculer aisément un produit de deux permutations, savoir décomposer une permutation en produit de cycles à support disjoint.
Il est important que la notion d'ordre d'un élément soit mentionnée et comprise dans des cas simples.
Développements :
- S4 est un groupe de pavage
- Groupes d'ordre pq
- Automorphismes de Sn
- Structure des groupes abéliens finis
- A5 est l'unique groupe simple d'ordre 60
- Théorème de Sylow (version opération de groupes)
- Table de caractères de D4 et H8
- Théorème de Sylow (par récurrence sur le cardinal)
- Table de caractères de S4 et les isométries du tétraèdre
- Sous-groupes distingués et tables de caractères
- Théorème de Gauss (polygones constructibles)
- Simplicité du groupe alterné
- Théorème de Burnside
- Test de Miller-Rabin
- Nombre de solutions d'équations polynomiales sur Fq
- Simplicité du groupe alterné (par les commutateurs)
- Automorphismes de Z/nZ
- Galois inverse
- Théorème de Brauer
- Théorème de Frobenius-Zolotarev
- Prolongement des caractères
