Leçon 181 : Barycentres dans un espace affine réel de dimension finie, convexité. Applications.
Dernier rapport du Jury : 2016
181 - Barycentres dans un espace affine réel de dimension finie, convexité. Applications.
Dans cette leçon, la notion de coordonnées barycentriques est incontournable ; des illustrations dans le triangle (coordonnées barycentriques de certains points remarquables) sont envisageables. Il est important de parler d’enveloppe convexe, de points extrémaux, ainsi que des applications qui en résultent.
S’ils le désirent, les candidats peuvent aller plus loin en présentant le lemme de Farkas, le théorème de séparation de Hahn-Banach, ou les théorèmes de Helly et de Caratheodory.
Autres rapports
2015
181 - Barycentres dans un espace affine réel de dimension finie, convexité. Applications.)
On attend des candidats qu'ils parlent de coordonnées barycentriques et les utilisent par exemple dans le triangle (coordonnées barycentriques de certains points remarquables). Il est judicieux de parler d'enveloppe convexe, de points extrémaux, ainsi que des applications qui en résultent.
2014
181 - Barycentres dans un espace affine réel de dimension finie, convexité. Applications.)
On attend des candidats qu'ils parlent de coordonnées barycentriques et les utilisent par exemple dans le triangle (coordonnées barycentriques de certains points remarquables). Il est judicieux de parler d'enveloppe convexe, de points extrémaux, ainsi que des applications qui en résultent.
Développements :
- Le théorème de Gauss-Lucas et une application
- Suite de polygones
- Théorème de Carathéodory
- Hahn-Banach géométrique
- Théorème de Gauss-Lucas
- conique et determinant
- Corollaire du théorème de Pascal (coniques)
- Théorème de point fixe de Kakutani (par Hahn-Banach)
- Théorème de Barany
- Enveloppe convexe de On(R)
- Théorème du point fixe de Kakutani et sous-groupes compacts de GLn(R)
- Menelaüs et Ceva
- Par cinq points passe une conique
- Théorème de Carathéodory et équations diophantiennes
- Points extrémaux de la boule unité de $\mathcal{L}(E)$
- Théorèmes de Kakutani et Massera
- Cercle d'Euler
Plans/remarques :
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2016
