Leçon 142 * : Algèbre des polynômes à plusieurs indéterminées. Applications.

Dernier rapport du Jury : 2016

142 - Algèbre des polynômes à plusieurs indéterminées. Applications. Cette leçon ne doit pas se concentrer exclusivement sur les aspects formels ou uniquement sur les polynômes symétriques. Les aspects arithmétiques ne doivent pas être négligés. Il faut savoir montrer l’irréductibilité d’un polynôme à plusieurs indéterminées en travaillant sur un anneau de type $A[X]$, où $A$ est factoriel. Le théorème fondamental sur la structure de l’algèbre des polynômes symétriques est vrai sur $Z$. L’algorithme peut être présenté sur un exemple. Les applications aux quadriques, aux relations racines/cœfficients ne doivent pas être délaissées : on peut faire par exemple agir le groupe $GL_n(R)$ sur les polynômes à n indéterminées de degré inférieur à 2. S’ils désirent aller plus loin, les candidats peuvent s’aventurer vers la géométrie algébrique et présenter le Nullstellensatz.
2015 142 - Algèbre des polynômes à plusieurs indéterminées. Applications.) La leçon ne doit pas se concentrer exclusivement sur les aspects formels ou uniquement sur les polynômes symétriques. Les aspects arithmétiques ne doivent pas être négligés. Il faut savoir montrer l'irréductibilité d'un polynôme à plusieurs indéterminées en travaillant sur un anneau de type $A[X]$, où $A$ est factoriel. Le théorème fondamental sur la structure de l'algèbre des polynômes symétriques est vrai sur $\mathbb{Z}$. L'algorithme peut être présenté sur un exemple. Les applications aux quadriques, aux relations racines/coefficients ne doivent pas être délaissées : on peut faire par exemple agir le groupe $GL(n,\mathbb{R})$ sur les polynômes à n indéterminées de degré inférieur $2$.
2014 142 - Algèbre des polynômes à plusieurs indéterminées. Applications.) La leçon ne doit pas se concentrer exclusivement sur les aspects formels ni sur les les polynômes symétriques. Les aspects arithmétiques ne doivent pas être négligés. Il faut savoir montrer l'irréductibilité d'un polynôme à plusieurs indéterminées en travaillant sur un anneau de type $A[X]$, où $A$ est factoriel. Le théorème fondamental sur la structure de l'algèbre des polynômes symétriques est vrai sur $Z$. L'algorithme peut être présenté sur un exemple. Les applications aux quadriques, aux relations racines coefficients ne doivent pas être négligées. On peut faire agir le groupe $GL(n, R)$ sur les polynômes à $n$ indéterminées de degré inférieur à 2.

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