Leçon 105 : Groupe des permutations d'un ensemble fini. Applications.
Dernier rapport du Jury : 2016
105 - Groupe des permutations d'un ensemble fini. Applications.
Parmi les attendus, il faut savoir relier la leçon avec les notions d’orbites et d’actions de groupes. Il faut aussi savoir décomposer une permutation en cycles à supports disjoints, tant sur le plan théorique (preuve du théorème de décomposition), que pratique (sur un exemple). Il est important de savoir déterminer les classes de conjugaisons du groupe symétrique par la décomposition en cycles, d’être capable de donner des systèmes de générateurs.
L’existence du morphisme signature est un résultat non trivial mais ne peut pas constituer, à elle seule, l’objet d’un développement.
Les applications sont nombreuses, il est très naturel de parler des déterminants, des polynômes symétriques ou des fonctions symétriques des racines d’un polynôme.
S’ils le désirent, les candidats peuvent aller plus loin en s’intéressant aux automorphismes du groupe symétrique, à des problèmes de dénombrement ou aux représentations des groupes des permutations.
Autres rapports
2015
105 - Groupe des permutations d'un ensemble fini. Applications.)
Parmi les attendus, il faut savoir relier la leçon avec les notions d'orbites et d'actions de groupes. Il faut aussi savoir décomposer une permutation en cycles à supports disjoints, tant sur le plan théorique (preuve du théorème de décomposition), que pratique (sur un exemple). Il est important de savoir déterminer les classes de conjugaisons du groupe symétrique par la décomposition en cycles, et, pour les candidats confirmés, dominer les problèmes de dénombrement qui en résultent.
Des dessins ou des graphes illustrent de manière commode ce que sont les permutations.
Par ailleurs, un candidat qui se propose de démontrer que tout groupe simple d'ordre 60 est isomorphe à $\mathfrak{A}_5$ devrait savoir donner des applications à la simplicité d'un groupe.
L'existence du morphisme signature est un résultat non trivial mais ne peut pas constituer, à elle seule, l'objet d'un développement.
Comme pour toute structure algébrique, il est souhaitable de s'intéresser aux automorphismes d'un groupe, par exemple, à ceux du groupe symétrique. On note que les candidats connaissent en général les applications du groupe symétrique aux polyèdres réguliers de l'espace.
2014
105 - Groupe des permutations d'un ensemble fini. Applications.)
Il faut relier rigoureusement les notions d'orbites et d'action de groupe. Il faut aussi savoir décomposer une permutation en cycles disjoints, tant sur le plan théorique (preuve du théorème de décomposition), que pratique (sur un exemple). Des dessins ou des graphes illustrent de manière commode ce que sont les permutations. Par ailleurs un candidat qui se propose de démontrer que tout groupe simple d'ordre 60 est isomorphe à $A_5$ devrait aussi savoir montrer que $A_5$ est simple.
L'existence du morphisme signature est un résultat non trivial mais ne peut pas constituer, à elle seule, l'objet d'un développement.
Comme pour toute structure algébrique, il est souhaitable de s'intéresser aux automorphismes du groupe symétrique. Les applications du groupe symétrique ne concernent pas seulement les polyèdres réguliers. Il faut par exemple savoir faire le lien avec les actions de groupe sur un ensemble fini. Il est important de savoir déterminer les classes de conjugaisons du groupe symétrique par la décomposition en cycles.
Développements :
- Simplicité du groupe alterné
- Simplicité du groupe alterné (par les commutateurs)
- Table de caractères de S4 et les isométries du tétraèdre
- Théorème de Brauer
- Théorème de Frobenius-Zolotarev
- A5 est l'unique groupe simple d'ordre 60
- Automorphismes de Sn
- S4 est un groupe de pavage
- Détermination des groupes d'isométries du cube et du tétraèdre
- Erreur
- Intégralité de la table des groupes symétriques
- Table de caractères de S4 par les isométries positives du cube, étude des sous-groupes distingués
- Polynômes semi-symétriques
- Théorème de Kronecker
- Galois inverse
- théorie de polya
