Leçon 245 * : Fonctions holomorphes sur un ouvert de $C$. Exemples et applications.
Dernier rapport du Jury : 2016
Les conditions de Cauchy-Riemann doivent être parfaitement connues ? et l’interprétation de la différentielle en tant que similitude directe doit être comprise. La notation $\int_\gamma f(z) dz$ a un sens précis, qu’il faut savoir expliquer. Par ailleurs, même si cela ne constitue pas le cœur de la leçon, il faut connaître la définition d’une fonction méromorphe (l’ensemble des pôles doit être une partie fermée discrète).
Les résultats autour de l’analyticité, ou encore le principe du maximum, le principe des zéros isolés, sont bien sûr cruciaux. Le lemme de Schwarz est un joli résultat permettant de faire un développement élémentaire s’il est agrémenté d’applications pertinentes, comme par exemple déterminer les automorphismes du disque unité.
Pour les candidats qui le souhaitent, cette leçon offre beaucoup de possibilités, notamment en lien avec la topologie du plan. La preuve du théorème de l’application conforme de Riemann est par exemple un développement de très bon niveau mais qui nécessite une bonne maîtrise.
Autres rapports
2015
245 - Fonctions holomorphes sur un ouvert de $C$. Exemples et applications.)
Les conditions de Cauchy-Riemann doivent être parfaitement connues et l'interprétation de la différentielle en tant que similitude directe doit être comprise. La notation $\int_\gamma f(z) dz$ a un sens précis, qu'il faut savoir expliquer. Par ailleurs, même si cela ne constitue pas le coeur de la leçon, il faut connaître la définition d'une fonction méromorphe (l'ensemble des pôles doit être une partie fermée discrète).
Pour les candidats aguerris, cette leçon offre beaucoup de possibilités, notamment en lien avec la topologie du plan.
2014
245 - Fonctions holomorphes sur un ouvert de $C$. Exemples et applications.)
Le titre a changé. Les conditions de Cauchy-Riemann doivent être parfaitement connues et l'interpré? tation de la différentielle en tant que similitude directe doit être comprise. La notation $\int_\gamma f(z)dz$ a un sens précis, qu'il faut savoir expliquer. Par ailleurs, même si cela ne constitue pas le coeur de la leçon, il faut connaître la définition d'une fonction méromorphe (l'ensemble des pôles doit être une partie fermée discrète) !
Développements :
- Théorème d'uniformisation de Riemann
- Formule des compléments
- Calcul de trois intégrales
- Lemme de Schwarz et biholomorphismes du disque
- Théorème des lacunes d'Hadamard
- Densité des polynômes orthogonaux
- Théorème de Paley-Wiener
- Résolution de y'' - y = H dans S'(R)
- Équation fonctionnelle de la fonction zêta de Riemann
- Théorème de Jordan C1
Plans/remarques :
Pas de plans pour cette leçon.