Leçon 234 * : Espaces $L^p$, $1 \le p \le + \infty$.
Dernier rapport du Jury : 2016
Cette leçon nécessite d’avoir compris les notions de presque partout (comme par exemple les opérations sur les ensembles négligeables) et évidemment la définition des espaces $L^p$. Le jury a apprécié les candidats sachant montrer qu’avec une mesure finie $L^2 \subset L^1$ (ou même $L^p \subset L^q$ si $p > q$). Il est important de pouvoir justifier l’existence de produits de convolution comme par exemple le produit de convolution de deux fonctions de $L^1$ ). Par ailleurs, les espaces associés à la mesure de comptage sur N
ou Z fournissent des exemples pertinents non triviaux à propos desquels des développements peuvent
être proposés comme la description du dual. Par ailleurs, des exemples issus des probabilités peuvent
tout à fait être mentionnés.
Pour aller plus loin, la complétude de $L^p$ (p fini ou infini) offre aussi un bon développement. On peut
aussi penser à certains résultats sur la dimension des sous-espaces fermés de $L^p$ dont les éléments ont
des propriétés particulières de régularité. Enfin, le cas particulier hilbertien $p = 2$ mérite attention
mais il faut se concentrer sur les spécificités d’un espace de fonctions $L^2$ et éviter de faire un catalogue
de propriétés vraies pour n’importe quel espace de Hilbert.
Autres rapports
2015
234 - Espaces $L^p$, $1 \le p \le + \infty$.)
Le jury a apprécié les candidats sachant montrer qu'avec une mesure finie $L^2 \subset L^1$ (ou même $L^p \subset L^q$ si $p \ge q$). Il est important de pouvoir justifier l'existence de produits de convolution (exemple $L^1 \star L^1$ ). Par ailleurs, les espaces associés à la mesure de comptage sur $\mathbb{N}$ ou $\mathbb{Z}$ fournissent des exemples pertinents non triviaux à propos desquels des développements peuvent être proposés comme la complétude ou pour les candidats plus solides la description du dual.
2014
234 - Espaces $L^p$, $1 \le p \le + \infty$.)
Le jury a apprécié les candidats sachant montrer qu'avec une mesure finie $L^2 \subset L^1$ (ou même $L^p \subset L^q$ si $p \geq q$). Il est important de pouvoir justifier l'existence de produits de convolution (exemple $L^1 \star L^1$). Par ailleurs, les espaces associés à la mesure de décompte sur $N$ ou $Z$ fournissent des exemples pertinents non triviaux.
Développements :
- Les automorphismes isométriques des l(p)
- Densité des fonctions tests dans Lp
- Densité des polynômes orthogonaux
- Théorème de Fourier-Plancherel
- Théorème de Riesz-Fischer (a.k.a. Lp est complet)
- Points de Lebesgue d'une fonction L1
- Formule d'inversion de Fourier dans S(Rd) ou L(Rd)
- Existence de l'espérance conditionelle
- Injection compacte dans les espaces de Sobolev
- Équation de la chaleur sur le cercle
Plans/remarques :
Pas de plans pour cette leçon.