Leçon 228 * : Continuité et dérivabilité des fonctions réelles d'une variable réelle. Exemples et contre-exemples.
Dernier rapport du Jury : 2016
Cette leçon permet des exposés de niveaux très variés. Les théorèmes de base doivent être maîtrisés et illustrés par des exemples intéressants, par exemple le théorème des valeurs intermédiaires pour la dérivée. Le jury s’attend à ce que le candidat connaisse et puisse calculer la dérivée des fonctions usuelles. Les candidats doivent disposer d’un exemple de fonction dérivable de la variable réelle qui ne soit pas continûment dérivable. La stabilité par passage à la limite des notions de continuité et de dérivabilité doit être comprise par les candidats. De façon plus fine, on peut s’intéresser aux fonctions continues nulle part dérivables.
Pour aller plus loin, la dérivabilité presque partout des fonctions lipschitziennes ou des fonctions monotones relève de cette leçon. Les applications du théorème d’Ascoli (avec, par exemple, des exemples d’opérateurs à noyaux compacts), sont les bienvenues. L’étude de la dérivée au sens des distributions de
$x \in [a,b] \longmapsto \int_a^x f(t) dt$ pour une fonction intégrable $f \in L^1([a,b])$ est un résultat intéressant.
Autres rapports
2015
228 - Continuité et dérivabilité des fonctions réelles d'une variable réelle. Exemples et contre-exemples.)
Cette leçon permet des exposés de niveaux très variés. Les théorèmes de base doivent être maîtrisés et illustrés par des exemples intéressants, par exemple le théorème des valeurs intermédiaires pour la dérivée. Le jury s'attend à ce que le candidat connaisse et puisse calculer la dérivée des fonctions usuelles. Les candidats doivent disposer d'un exemple de fonction dérivable de la variable réelle qui ne soit pas continûment dérivable. La stabilité par passage à la limite des notions de continuité et de dérivabilité par passage à la limite doit être comprise par les candidats.
Pour les candidats aguerris, la dérivabilité presque partout des fonctions lipschitziennes relève de cette leçon. Les applications du théorème d'Ascoli (par exemple les opérateurs intégraux à noyau continu, le théorème de Peano, ... ), sont les bienvenues.
Pour les candidats qui maîtrisent la notion de dérivée au sens des distributions tempérées, l'étude de la dérivée au sens des distributions de la primitive d'une fonction intégrable est un résultat intéressant.
2014
228 - Continuité et dérivabilité des fonctions réelles d'une variable réelle. Exemples et contre-exemples.)
applications. Un plan découpé en deux parties (I : Continuité, II : Dérivabilité) n'est pas le mieux adapté. Les théorèmes de base doivent être maîtrisés et illustrés par des exemples intéressants. Les candidats doivent disposer d'un exemple de fonction dérivable de la variable réelle qui ne soit pas continûment dérivable. La dérivabilité presque partout des fonctions Lipschitziennes relève de cette leçon. Enfin les applications du théorème d'Ascoli (par exemple les opérateurs intégraux à noyau continu, le théorème de Peano, etc ), sont les bienvenues.
Développements :
- Théorème de Morgenstern
- Théorème de Sard (version faible)
- Densité des fonctions continues nulles part dérivables
- Fonctions caractéristiques et moments
- Théorème de Borel
- Théorème de Jordan C1
- Méthode de Laplace
- Chemin optique et calcul des variations
- Équation de Schrödinger
- Géodésiques du demi plan de Poincarré
- Construction de l'exponentielle et de Pi
- Équation différentielle dans les espaces de Hölder
- Théorème d'Hadamard Levy
- Méthode de Newton pour les polyômes
- Méthode de Newton
- Théorème de Weierstrass (par les probabilités)
- Inégalité de Hoeffding
- Étude qualitative de x' = x^2 - t
- Processus de Galton-Watson (ou processus de branchement)
Plans/remarques :
Pas de plans pour cette leçon.