Leçon 206 : Théorèmes de point fixe. Exemples et applications.

Dernier rapport du Jury : 2016

Cette leçon n’apparaîtra plus dans la session 2017. Toutefois le théorème du point fixe de Banach trouve naturellement sa place dans les leçons 205, 226, voire 233. Il est également sous-jacent dans d’autres thèmes de leçons : calcul différentiel, équations différentielles.
2015 206 - Théorèmes de point fixe. Exemples et applications.) Il faut préparer des contre-exemples pour illustrer la nécessité des hypothèses des théorèmes énoncés . Les applications aux équations différentielles sont importantes. Répétons que la maîtrise du théorème de Cauchy-Lipschitz est attendue. Pour l'analyse de convergence des méthodes de point fixe, les candidats ne font pas suffisamment le lien entre le caractère localement contractant de l'opérateur itéré et la valeur de la différentielle au point fixe. La méthode de Newton, interprétée comme une méthode de point fixe, fournit un exemple où cette différentielle est nulle, la vitesse de convergence étant alors de type quadratique. L'étude de méthodes itératives de résolution de systèmes linéraires conduit à relier ce caractère contractant à la notion de rayon spectral. Pour les candidats solides, il est envisageable d'admettre le théorème de point fixe de Brouwer et d'en développer quelques conséquences comme le théorème de Perron-Frobenius.
2014 206 - Théorèmes de point fixe. Exemples et applications.) Les applications aux équations différentielles sont importantes. Répétons que la maîtrise du théorème de Cauchy-Lipschitz est attendue. Il faut préparer des contre-exemples pour illustrer la nécessité des hypothèses. Pour l'analyse de convergence des méthodes de point fixe, les candidats ne font pas suffisamment le lien entre le caractère localement contractant de l'opérateur itéré et la valeur de la différentielle au point fixe. La méthode de Newton, interprétée comme une méthode de point fixe, fournit un exemple où cette différentielle est nulle, la vitesse de convergence étant alors de type quadratique. L'étude de méthodes itératives de résolution de systèmes linéraires conduit à relier ce caractère contractant à la notion de rayon spectral. Il est envisageable d'admettre le théorème de point fixe de Brouwer et d'en développer quelques conséquences comme le théorème de Perron-Froebenius.

Plans/remarques :

Pas de plans pour cette leçon.

Retours d'oraux :

Lorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipiscing elit. Maecenas id nibh volutpat, feugiat lacus nec, egestas sapien. Donec sodales ipsum at ipsum egestas euismod. Ut non mollis ligula. Praesent vel massa consequat, euismod arcu sit amet, sagittis quam. Vestibulum posuere sapien lacinia tincidunt venenatis. Nulla blandit maximus arcu, ut gravida augue tincidunt vel. Fusce finibus lorem ut dolor faucibus sollicitudin. Mauris sollicitudin scelerisque mi, quis condimentum orci sagittis sit amet. Morbi a tempus erat. Etiam lorem mi, sodales eget lorem eu, viverra ultrices orci. Suspendisse pulvinar libero euismod quam rhoncus varius. Sed ut nisl rutrum, varius erat a, suscipit risus. Cras varius vel purus id fermentum. Nullam nec risus et risus dignissim tincidunt. In ac dui rutrum, rutrum justo pretium, pellentesque diam. Duis non nisi eu risus vestibulum dignissim. Praesent tristique laoreet mauris, non volutpat felis viverra quis. Aliquam ac mauris pellentesque, bibendum erat ut, tempus magna. Duis urna nibh, scelerisque sed mattis eu, ornare quis odio. Mauris vitae condimentum nulla. Aliquam non dui non purus euismod imperdiet. In luctus sapien a condimentum tempor. Maecenas rhoncus ex sed eros scelerisque, consectetur pulvinar leo dictum. In ac maximus purus. Suspendisse sodales nec mauris nec lacinia. Mauris in pulvinar tellus, in vulputate elit. Nullam non luctus nunc, et congue libero. Vivamus placerat urna congue, rhoncus libero ac, laoreet ligula. Suspendisse convallis neque sed tempor finibus. Nunc justo magna, euismod vitae nibh nec, tempor rutrum lacus. Aenean risus massa, molestie sed dolor vitae, scelerisque eleifend felis. Pellentesque quis sapien eros. Sed sit amet tellus ac quam semper porttitor sed eget tellus. Sed nec ultricies ligula. Sed lectus neque, gravida sed mauris sed, lacinia convallis nisi. Quisque eget erat finibus, euismod odio eget, posuere mi. Sed enim urna, bibendum vitae fermentum et, volutpat nec ante. Nulla vel mauris sed ex pellentesque faucibus. Proin a diam elementum, faucibus risus ut, accumsan dolor. Nullam tempor hendrerit quam, sed vulputate risus blandit ut. Maecenas a odio a nulla dictum consectetur. Fusce at condimentum arcu. Quisque auctor volutpat sapien, sed interdum dui suscipit sed. Quisque efficitur massa et sem ultrices, in viverra nulla cursus. Praesent id tortor et libero consequat suscipit. Suspendisse potenti. Praesent interdum ante et est vehicula, sed tincidunt leo interdum. Praesent ultricies at augue quis porttitor. Curabitur eleifend sodales placerat. Phasellus in enim nec libero dictum dictum vitae quis urna. Morbi eu consectetur mauris. Pellentesque habitant morbi tristique senectus et netus et malesuada fames ac turpis egestas. Donec elementum eros molestie fringilla posuere. Aliquam aliquam urna tellus, non molestie diam tempus ac. Quisque ex erat, imperdiet tincidunt tristique id, vulputate nec ipsum. Ut ultrices, ex nec placerat cursus, nunc metus placerat ligula, tempus gravida elit nisi et dui. Donec vestibulum dignissim ligula in blandit. Etiam feugiat odio a ligula mollis, et viverra enim eleifend. Vivamus mattis nec justo sed interdum. Cras augue lacus, finibus et leo in, sagittis faucibus purus. Duis pretium arcu nec turpis accumsan convallis. Aenean rhoncus ipsum nec fringilla vulputate. Donec pulvinar nisi in erat placerat, ut bibendum mauris scelerisque. Suspendisse aliquet vitae magna ut rutrum. Etiam et libero accumsan, semper odio ac, accumsan neque. Sed sapien nisl, feugiat id finibus non, varius in justo. Integer condimentum dolor nec tortor faucibus, sit amet sollicitudin dui varius. Mauris aliquet metus eu pretium placerat. Proin eu nisl erat. Suspendisse potenti. In hac habitasse platea dictumst. Ut laoreet mi vitae massa semper pellentesque. Nam nulla eros, fringilla nec elit et, euismod malesuada orci. Donec efficitur convallis nibh id imperdiet. Praesent dapibus ex pharetra magna sollicitudin aliquam. Nam et elit sodales, scelerisque orci vel, ultricies neque. Sed ac eros nisl. Donec in lacinia purus. Nullam sit amet pellentesque felis, sit amet euismod lectus. Vivamus et felis dolor. Aenean vulputate vitae lorem a consequat. Morbi libero mauris, ornare nec odio eu, aliquam blandit tellus. Nullam mollis feugiat ullamcorper. Morbi vitae fringilla justo, eget mattis diam. Orci varius natoque penatibus et magnis dis parturient montes, nascetur ridiculus mus. Phasellus pharetra ultricies nibh, ac porttitor elit venenatis ac. Aliquam finibus augue in fermentum posuere. Integer nec est mollis, maximus velit in, laoreet quam. Duis bibendum hendrerit magna vitae ornare. Vestibulum porta ullamcorper magna in sodales. Morbi eu accumsan nunc, id tempor lorem.