Leçon 203 : Utilisation de la notion de compacité.
Dernier rapport du Jury : 2016
Il est important de ne pas concentrer la leçon sur la compacité générale (confusion entre utilisation de la notion compacité et notion de compacité). Néanmoins, on attend des candidats d’avoir une vision synthétique de la compacité. Des exemples d’applications comme le théorème de Heine et le théorème de Rolle doivent y figurer et leur démonstration être connue. Par ailleurs, le candidat doit savoir quand la boule unité d’un espace vectoriel normé est compacte. Des exemples significatifs d’utilisation comme le théorème de Stone-Weierstrass, des théorèmes de point fixe, voire l’étude qualitative d’équations différentielles, sont tout-à fait envisageables. Le rôle de la compacité pour des problèmes d’existence d’extrema mériterait d’être davantage étudié. On peut penser comme application à la diagonalisation des matrices symétriques à coefficients réels.
Pour aller plus loin, les familles normales de fonctions holomorphes fournissent des exemples fondamentaux d’utilisation de la compacité. Les opérateurs auto-adjoints compacts sur l’espace de Hilbert relèvent également de cette leçon, et on pourra développer l’analyse de leurs propriétés spectrales.
Autres rapports
2015
203 - Utilisation de la notion de compacité.)
Il est important de ne pas concentrer la leçon sur la compacité générale (confusion générale entre utilisation de la notion compacité et notion de compacité ). Néanmoins, on attend des candidats une présentation synthétique de la compacité. Des exemples d'applications comme le théorème de Heine et le théorème de Rolle doivent y figurer et leur démonstration être connue.
Des exemples significatifs d'utilisation comme le théorème de Stone-Weierstrass, des théorèmes de point fixe, voire l'étude qualitative d'équations différentielles, sont tout-à fait envisageables. Le rôle de la compacité pour des problèmes d'existence d'extremums mériterait d'être davantage étudié (lien avec la coercivité en dimension finie).
Les candidats solides peuvent aussi enrichir leur leçon par des exemples tels que l'étude des opérateurs à noyau continu.
Pour les candidats ambitieux, les familles normales de fonctions holomorphes fournissent des exemples fondamentaux d'utilisation de la compacité. Les opérateurs auto-adjoints compacts sur l'espace de Hilbert relèvent également de cette leçon, et on pourra développer par exemple leurs propriétés spectrales
2014
203 - Utilisation de la notion de compacité.)
Il est important de ne pas concentrer la leçon sur la compacité générale (confusion générale entre utilisation de la notion compacité et notion de compacité ), sans proposer des exemples significatifs d'utilisation (Stone-Weierstrass, point fixe, voire étude qualitative d'équations différentielles, etc.). La leçon peut être aussi avantageusement illustrée par des exemples d'opérateurs à noyau et l'analyse de leur compacité par le théorème d'Ascoli, par exemple. Le rôle de la compacité pour des problèmes d'existence d'extrema mériterait d'être davantage étudié (lien avec la coercivité en dimension finie).
Pour les candidats solides, les familles normales de fonctions holomorphes fournissent des exemples fondamentaux d'utilisation de la compacité. Les opérateurs autoadjoint compacts sur l'espace de Hilbert relèvent également de cette leçon, et on pourra développer par exemple leurs propriétés spectrales.
Développements :
- Morphisme d'algèbre sur C(K,R)
- Points de Lebesgue d'une fonction L1
- Théorème d'uniformisation de Riemann
- Théorème d'Hadamard Levy
- Équation différentielle dans les espaces de Hölder
- Théorème du point fixe de Brouwer
- Injection compacte dans les espaces de Sobolev
- Isomorphismes entre espaces de fonctions C(K)
- Théorème de point fixe de Kakutani (par Hahn-Banach)
- Densité des fonctions continues nulles part dérivables
- Ellipsoïde de John Loewner
- Théorèmes de Kakutani et Massera
- Théorème de Weierstrass (par les probabilités)
- Théorème du point fixe de Kakutani et sous-groupes compacts de GLn(R)
- L'exponentielle induit un homéomorphisme entre $\mathcal{S}_n(\mathbb{R})$ et $\mathcal{S}_n^{++}(\mathbb{R})$
- Théorème de Jordan C1
- Billard convexe
- Décomposition polaire
- Théorème de Von Neumann des sous-variétés
Plans/remarques :
Pas de plans pour cette leçon.