Leçon 202 * : Exemples de parties denses et applications.
Dernier rapport du Jury : 2016
Il ne faut pas négliger les exemples élémentaires comme les sous-groupes additifs de R et leurs applications, ou encore les critères de densité dans un espace de Hilbert. Le théorème de Weierstrass via les polynômes de Bernstein peut être abordé à des niveaux divers suivant que l’on précise ou pas la vitesse de convergence voire son optimalité.
Pour aller plus loin, la version plus abstraite du théorème de Weierstrass (le théorème de Stone-Weierstrass) est aussi intéressante et a de multiples applications. Cette leçon permet aussi d’explorer les questions d’approximation de fonctions par des polynômes et des polynômes trigonométriques, ou plus généralement la densité de certains espaces remarquables de fonctions dans les espaces de fonctions continues, ou dans les espaces $L^p$ . Il est également possible de parler de l’équirépartition.
Autres rapports
2015
202 - Exemples de parties denses et applications.)
Il ne faut pas négliger les exemples élémentaires comme par exemple les sous-groupes de $\mathbb{R}$ et leurs applications. Cette leçon permet aussi d'explorer les questions d'approximations de fonctions par des polynômes et des polynômes trigonométriques. Au delà des exemples classiques, les candidats plus ambitieux peuvent aller jusqu'à la résolution d'équations aux dérivées partielles par séries de Fourier.
2014
202 - Exemples de parties denses et applications.)
Cette leçon permet d'explorer les questions d'approximations de fonctions par des polynômes et des polynômes trigonométriques. Au delà des exemples classiques, les candidats plus ambitieux peuvent aller jusqu'à la résolution d'équations aux dérivées partielles (ondes, chaleur, Schrödinger) par séries de Fourier.
Développements :
- Points de Lebesgue d'une fonction L1
- Théorème de Müntz
- Densité des fonctions tests dans Lp
- Densité des fonctions continues nulles part dérivables
- Théorème de Fourier-Plancherel
- Théorème de Weierstrass (par les probabilités)
- Densité des polynômes orthogonaux
- Caractères linéaires continus de U
- Critère de Weyl
- Théorème taubérien fort
- Les automorphismes isométriques des l(p)
- Théorème de l'application ouverte
- Théorème du point fixe de Brouwer
Plans/remarques :
Pas de plans pour cette leçon.