Leçon 254 * : Espaces de Schwartz $S(R^d)$ et distributions tempérées. Dérivation et transformation de Fourier dans $S(R^d)$ et $S'(R^d)$.
Dernier rapport du Jury : 2015
Rappelons une fois de plus que les attentes du jury sur ces leçons restent modestes. Elles se placent au niveau de ce qu'un cours de première année de master sur le sujet peut contenir. Aucune subtilité topologique portant sur l'espace des distributions tempérées n'est attendue. Par contre, on attend du candidat qu'il comprenne le rôle fondamental joué par la dualité dans la définition des opérations sur les distributions tempérées. Il faut aussi savoir faire le lien entre décroissance de la transformée de Fourier et régularité de la fonction.
Le fait que la transformée de Fourier envoie $S(\mathbb{R}^d)$ dans lui même avec de bonnes estimations des semi-normes doit être compris et la formule d'inversion de Fourier maîtrisée dans ce cadre.
Le passage à $S(\mathbb{R}^d)$ repose sur l'idée de dualité qui est le coeur de cette leçon. Des exemples de calcul de transformée de Fourier peuvent être données, classiques comme la gaussienne ou $(1+x^2)^{-1}$ et d'autres liées à la théorie des distributions comme la détermination de la transformée de Fourier d'une constante.
Cette leçon ne doit pas se réduire à une dissertation abstraite sur le dual topologique d'un espace de Fréchet séparable. Le candidat doit maîtriser des exemples comme la valeur principale, pouvoir calculer leur dérivée et comprendre ce qu'est la transformée de Fourier d'une fonction constante.
Les candidats ambitieux peuvent par exemple déterminer la transformée de Fourier de la valeur principale, la solution fondamentale du laplacien, voire résoudre l'équation de la chaleur ou de Schrödinger.
Autres rapports
2014
254 - Espaces de Schwartz $S(R^d)$ et distributions tempérées. Transformation de Fourier dans $S(R^d)$ et $S'(R^d)$.)
Rappelons une fois de plus que les attentes du jury sur ces leçons restent modestes, et se placent au niveau de ce qu'un cours de M1 standard sur le sujet peut contenir. Aucune subtilité topologique portant sur l'espace des distributions tempérées n'est attendue. Par contre, on attend du candidat qu'il sache faire le lien entre décroissance de la transformée de Fourier et régularité de la fonction. Le fait que la transformée de Fourier envoie $S(R^d)$ dans lui même avec de bonnes estimations des semi normes doit être compris et la formule d'inversion de Fourier maîtrisée dans ce cadre.
Le passage à $S'(R^d)$ repose sur l'idée dualité qui est le coeur de cette leçon. Des exemples de calcul de transformée de Fourier peuvent être données, classiques comme la gaussienne ou $(1+x^2)^{-1}$ et d'autres liées à la théorie des distributions comme la détermination de la transformée de Fourier d'une constante.
Les candidats ayant une bonne connaissance du sujet peuvent par exemple déterminer la transformée de Fourier de la valeur principale, la solution fondamentale du laplacien, voire résoudre l'équation de la chaleur ou de Schrödinger.
2014
255 - Espaces de Scwartz. Distributions. Dérivation au sens des distributions.)
Ici aussi, les attentes du jury sur ces leçons restent modestes, et se placent au niveau de ce qu'un cours de M1 standard sur le sujet peut contenir. Aucune subtilité topologique portant sur l'espace des distributions tempérées n'est attendue.
Le passage à $S'(R^d)$ repose sur l'idée dualité qui est le coeur de cette leçon. La détermination de la dérivée de $\log |x|$, de la dérivée seconde fournit un exemple pertinent tout comme la formule des sauts.
Plans/remarques :
Pas de plans pour cette leçon.