Leçon 201 * : Espaces de fonctions : exemples et applications.
Dernier rapport du Jury : 2015
C'est une leçon riche où le candidat devra choisir soigneusement le niveau auquel il souhaite se placer.
Les espaces de fonctions continues sur un compact (par exemple l'intervalle
$[0,1]$ ) offrent des exemples élémentaires et pertinents. Dans ce domaine, le jury attend une maîtrise du fait qu'une limite uniforme de fonctions continues est continue. Il est regrettable de voir des candidats, qui auraient eu intérêt à se concentrer sur les espaces de fonctions continues ou bien de classe $C^1$ et les bases de la convergence uniforme, proposer en développement le théorème de Riesz-Fischer dont il ne maîtrise visiblement pas la démonstration. Toutefois pour des candidats solides, ces espaces offrent de belles possibilités.
Enfin, les candidats ambitieux pourront aborder les espaces de fonctions holomorphes sur un ouvert de $\mathbb{C}$.
Signalons que des candidats proposent assez régulièrement une version incorrecte du théorème de Müntz pour les fonctions continues. La version correcte dans ce cadre est
$$ \overline{ \mathsf{Vect}\{1 , x^{\lambda_n} \}} = C( [0,1], \mathbb{R}) \iff \sum_{n \ge 1} \frac{1}{\lambda_n} = + \infty$$
Des candidats aguerris peuvent développer la construction et les propriétés de l'espace de Sobolev $H_0^1( ]0,1[)$, ses propriétés d'injection dans les fonctions continues, et évoquer le rôle de cet espace dans l'étude de problèmes aux limites elliptiques en une dimension. Ce développement conduit naturellement à une illustration de la théorie spectrale des opérateurs compacts auto-adjoints.
Autre rapport
2014
201 - Espaces de fonctions : exemples et applications.)
C'est une leçon riche où le candidat devra choisir soigneusement le niveau auquel il souhaite se placer. Les espaces de fonctions continues sur un compact et les espaces de fonctions holomorphes offrent des possibilités de leçons de qualité avec des résultats intéressants. Il est regrettable de voir des candidats, qui auraient eu intérêt à se concentrer sur les bases de la convergence uniforme, proposer en développement le théorème de Riesz-Fisher dont il ne maîtrise visiblement pas la démonstration. Pour les candidats solides, les espaces Lp offrent de belles possibilités.
Signalons que des candidats proposent assez régulièrement une version incorrecte du théorème de Müntz pour les fonctions continues. La version correcte dans ce cadre est $$\overline{Vect\{1, x^{\lambda_n} \}} = \mathcal{C}([0;1]; R) \Leftrightarrow \sum_{n \geq 1} \frac{1}{\lambda_n} = + \infty$$
Des candidats aguerris peuvent développer la construction et les propriétés de l'espace de Sobolev $H_0^1(]0,1[)$, ses propriétés d'injection dans les fonctions continues, et évoquer le rôle de cet espace dans l'étude de problèmes aux limites elliptiques en une dimension. Ce développement conduit naturellement à une illustration de la théorie spectrale des opérateurs compacts auto-adjoints.
Développements :
- Théorème d'uniformisation de Riemann
- Théorème de Riesz-Fischer (a.k.a. Lp est complet)
- Équation différentielle dans les espaces de Hölder
- Équation de Schrödinger
- Isomorphismes entre espaces de fonctions C(K)
- Injection compacte dans les espaces de Sobolev
- Points de Lebesgue d'une fonction L1
- Densité des fonctions tests dans Lp
- Théorème de Müntz
- Théorème de l'application ouverte
- Théorème de Cauchy-Lipschitz local
- Densité des polynômes orthogonaux
- Densité des fonctions continues nulles part dérivables
- Théorème ergodique de Von Neumann
- Géodésiques du demi plan de Poincarré
- Théorème de Banach-Steinhaus et série de Fourier divergente
Plans/remarques :
Pas de plans pour cette leçon.