Leçon 155 * : Endomorphismes diagonalisables en dimension finie.
Dernier rapport du Jury : 2015
Il faut ici pouvoir donner des exemples naturels d'endomorphismes diagonalisables et des critères de diagonalisabilité.
On peut coir que le calcul de l'exponentielle d'un endomorphisme diagonalisable est immédiat une fois que l'on connaît les valeurs propres et ceci sans diagonaliser la matrice, par exemple à l'aide des projecteurs spectraux.
On peut sur le corps des réels et des complexes donner des propriétés topologiques. Mentionnons que l'affirmation "l'ensemble des matrices diagonalisables de $M_n(K)$ est dense dans $M_n(K)$" nécessite quelques précisions sur le corps K et la topologie choisie pour $M_n(K)$.
Sur les corps finis, on a des critères spécifiques de diagonalisabilité. On peut dénombrer les endomorphismes diagonalisables, ou possédant des propriétés données, liées à la diagonalisation.
Le lien peut aussi être fait avec la théorie des représentations et la transformée de Fourier rapide.
Autre rapport
2014
155 - Endomorphismes diagonalisables en dimension finie.)
Il faut pouvoir donner des exemples naturels d'endomorphismes diagonalisables et des critères. Le calcul de l'exponentielle d'un endomorphisme diagonalisable est immédiat une fois que l'on connaît les valeurs propres et ceci sans diagonaliser la matrice, par exemple à l'aide des projecteurs spectraux.
On peut sur le corps des réels et des complexes donner des propriétés topologiques, et sur les corps finis, dénombrer les endomorphismes diagonalisables, ou possédant des propriétés données, liées à la diagonalisation.
Mentionnons que l'affirmation "l'ensemble des matrices diagonalisables de $M_n(K)$ est dense dans $M_n(K)$" nécessite quelques précisions sur le corps $K$ et la topologie choisie pour $M_n(K)$.
Développements :
- Décomposition polaire
- L'exponentielle induit un homéomorphisme entre $\mathcal{S}_n(\mathbb{R})$ et $\mathcal{S}_n^{++}(\mathbb{R})$
- Topologie des classes de similitude
- Diagonalisibilité et semi-simplicité
- Décomposition de Dunford
- Théorème de Gauss (polygones constructibles)
- Enveloppe convexe de On(R)
- Théorème de Burnside
Plans/remarques :
Pas de plans pour cette leçon.