Leçon 152 : Déterminant. Exemples et applications.
Dernier rapport du Jury : 2015
Il s'agit encore d'une leçon où les résultats abondent et où le candidat devra faire des choix. On doit pouvoir, dans cette leçon, commencer par définir correctement le déterminant. Beaucoup de candidats entament la leçon en disant que le sous-espace des formes dimension n -linéaires alternées sur un espace de n est de dimension 1, ce qui est fort à propos. Toutefois, il est essentiel de savoir le montrer.
Il faut que le plan soit cohérent ; si le déterminant n'est défini que sur $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$, il est délicat de définir $\mathsf{det} (A - X I_n)$ avec $A$ une matrice carrée.
L'interprétation du déterminant comme volume est essentielle.
Le calcul explicite est important, toutefois, le jury ne peut se contenter que d'un Vandermonde ou d'un déterminant circulant ! De même il est envisageable que des candidats s'intéressent aux calculs de déterminant sur $\mathbb{Z}$ avec des méthodes multimodulaires. Le résultant et les applications simples à l'intersection ensembliste de deux courbes algébriques planes peuvent trouver leur place dans cette leçon.
Il serait bien que la continuité du déterminant trouve une application, ainsi que son caractère polynomial.
Autre rapport
2014
152 - Déterminant. Exemples et applications.)
Il faut que le plan soit cohérent ; si le déterminant n'est défini que sur $R$ ou $C$, il est délicat de définir $det(A - XIn)$ avec $A$ une matrice carrée. L'interprétation du déterminant comme volume est essentielle. Beaucoup de candidats commencent la leçon en disant que le sous-espace des formes $n$-linéaires alternées sur un espace de dimension $n$ est de dimension 1, ce qui est fort à propos.
Toutefois, il est essentiel de savoir le montrer.
Le jury ne peut se contenter d'un Vandermonde ou d'un déterminant circulant ! Le résultant et les applications simples à l'intersection ensembliste de deux courbes algébriques planes peuvent trouver leur place dans cette leçon. D'une manière générale on attend pendant le développement l'illustration d'un calcul ou la manipulation de déterminants non triviaux.
Il serait bien que la continuité du déterminant trouve une application, ainsi que son caractère polynomial.
Développements :
- Théorème de Müntz
- Fractions rationnelles et séries formelles
- Formule de Poisson
- Application du Vandermonde
- Suite de polygones
- Ellipsoïde de John Loewner
- Détermination du nombre de racines distinctes d'un polynôme
- Menelaüs et Ceva
- Par cinq points passe une conique
- Théorème de Bézout faible (par le résultant)
- Théorème de point fixe de Kakutani (par Hahn-Banach)
- Théorème de Brauer
- Théorème de Frobenius-Zolotarev
Plans/remarques :
Pas de plans pour cette leçon.